К вопросу реализации метрик второго приближения.
(В.С.Кондрашов, Одесса 1996)
(Впервые опубликовано в тезисах V международной научной конференции им ак. Кравчука в г.Киеве в 1996 году)
§ 1.Постановка задачи.
В силу особого вида тензора Римана пространства Vn в случае n=2, для метрического тензора ассоциированного пространства второго порядка двумерного риманова пространства получим выражение:
(1) ,
где , yi -римановы нормальные координаты , выраженные ковариантными компонентами, - гауссова кривизна в начале координат.
Ставится вопрос нахождения поверхности в E3 , для которой (1) будет выражать коэффициенты первой квадратичной формы, то есть, погружения двумерной метрики второго приближения в трёхмерное евклидово пространство. Отметим сразу, что реализацией метрики второго приближения нулевой кривизны является плоскость. Рассмотрим случаи ненулевой кривизны.
§ 2.Случай отрицательной кривизны.
Пусть задано некоторое число <0 . Рассмотрим поверхность в евклидовом пространстве, заданную в координатной форме формулами :
(2)
Матрица коэффициентов первой квадратичной формы рассматриваемой поверхности имеет вид:
(3) .
Перейдём к новой системе координат на поверхности следующим образом:
(4)
При этом коэффициенты первой квадратичной формы изменятся по закону:
(5) .
Учитывая то, что якобиан данного преобразования имеет вид:
,
получим матрицу коэффициентов новой первой квадратичной формы:
(6) .
Сравнение (1) и (6) приводит к выводу, что поверхность (2) реализует метрику второго приближения (1) отрицательной кривизны в трёхмерном евклидовом пространстве.
§ 3.Случай положительной кривизны.
Для погружения метрики второго приближения положительной кривизны воспользуемся методом Дарбу.Уравнение Дарбу для метрики (1) примет вид:
(7)
В дальнейшем будем рассматривать такую окрестность начала координат, что . В такой окрестности метрический тензор (1) будет невырожденным, а правая часть уравнения (7)- непрерывной функцией по переменным y1 ,y2.
Условие разрешимости уравнения (7), приведённое в [1], в сделанном предположении эквивалентно условию, следовательно уравнение(7) разрешимо.
Попытаемся найти решения уравнения (7) в предположении . В таком случае уравнение (7) примет вид:
(8) .
Заменой неизвестной функции приведём (8) к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка относительно функции v одной переменной Y2:
(9) .
Учитывая требование v(0)=0 , получим
,
откуда
(10) ,
причём .
Перейдя к длине дуги как параметру, получим более простое выражение для z:
(11)
В [2] приводится теорема:
Пусть и - два обобщённых решения уравнения
,
совпадающих на границе области . Пусть , а F для любых и для любых конечных z, z1 и z2 такова, что
Она непрерывна и неотрицательна.
Как функция z при фиксированных значениях остальных аргументов она абсолютно непрерывна и
,
тогда и совпадают в тождественно.
Где - класс функций, выпуклых на W и C1(W )- класс класс функций, непрерывных на W вместе с частными производными первого порядка.
В [5] указано, что эта теорема остаётся справедливой, если условие заменить условиями: и F удовлетворяет условию Липшица по z1 и z2.
При выборе все эти условия выполняются и функция (10) является единственным решением уравнения (8) в классе функций , где .
Условие F>0 эквивалентно при условию , что является необходимым условием того, что z - решение уравнения Дарбу (7). Замечая, что F непрерывна по z1 и z2, можем утверждать, что в достаточно малой окрестности точки (0,0) функция (10)является единственным решением уравнения (7) в классе функций .
Воспользуемся тем фактом, что в рассматриваемой окрестности, по определению римановых нормальных координат, любая точка может быть соединена с началом координат при помощи геодезической единственным образом. Попытаемся найти реализацию данной метрики в виде поверхности вращения, полученной вращением некоторой кривой вокруг нормали к поверхности, построенной в начале координат. В данном случае этой единственной геодезической будет меридиан, проходящий через данную точку. Кривую зададим параметрически, отнесенной к каноническому параметру:
Здесь функция z(S) взята из (11), а x(S) можно найти из условия
,
Окончательно, параметрическое задание данной кривой примет вид:
(12)
Литература:
1.Бакельман И.Я и др. Введение в дифференциальную геометрию “в целом”. М,1967.
2.Бакельман И.Я. Геометрические методы решения эллиптических уравнений. М,1969.
3.Бакельман И.Я. Высшая геометрия. М., “Просвещение”, 1967.
4. Погорелов А.В. Об уравнениях Монжа-Ампера эллиптического типа. ХГУ,1960.
5. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. М,Инлит.,1948.