К вопросу реализации метрик второго приближения.
(В.С.Кондрашов, Одесса 1996)
(Впервые опубликовано в тезисах V международной научной конференции им ак. Кравчука в г.Киеве в 1996 году)
§ 1.Постановка задачи.
В силу особого вида тензора Римана пространства Vn в случае n=2, для метрического тензора ассоциированного пространства второго порядка двумерного риманова пространства получим выражение:
(1) ,
где
, yi -римановы нормальные
координаты , выраженные ковариантными компонентами,
-
гауссова кривизна в начале координат.
Ставится вопрос нахождения поверхности в E3 , для которой (1) будет выражать коэффициенты первой квадратичной формы, то есть, погружения двумерной метрики второго приближения в трёхмерное евклидово пространство. Отметим сразу, что реализацией метрики второго приближения нулевой кривизны является плоскость. Рассмотрим случаи ненулевой кривизны.
§ 2.Случай отрицательной кривизны.
Пусть задано некоторое число
<0 . Рассмотрим
поверхность в евклидовом пространстве, заданную в координатной форме формулами
:
(2)
Матрица коэффициентов первой квадратичной формы рассматриваемой поверхности имеет вид:
(3) .
Перейдём к новой системе координат на поверхности следующим образом:
(4)
При этом коэффициенты первой квадратичной формы изменятся по закону:
(5) .
Учитывая то, что якобиан данного преобразования имеет вид:
,
получим матрицу коэффициентов новой первой квадратичной формы:
(6) .
Сравнение (1) и (6) приводит к выводу, что поверхность (2) реализует метрику второго приближения (1) отрицательной кривизны в трёхмерном евклидовом пространстве.
§ 3.Случай положительной кривизны.
Для погружения метрики второго приближения положительной кривизны воспользуемся методом Дарбу.Уравнение Дарбу для метрики (1) примет вид:
(7)
В дальнейшем будем рассматривать
такую окрестность начала координат, что .
В такой окрестности метрический тензор (1) будет невырожденным, а правая
часть уравнения (7)- непрерывной функцией по переменным y1
,y2.
Условие разрешимости уравнения
(7), приведённое в [1], в сделанном предположении эквивалентно условию,
следовательно уравнение(7) разрешимо.
Попытаемся найти решения
уравнения (7) в предположении .
В таком случае уравнение (7) примет вид:
(8) .
Заменой неизвестной функции
приведём (8)
к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка относительно
функции v одной переменной Y2:
(9) .
Учитывая требование v(0)=0 , получим
,
откуда
(10) ,
причём .
Перейдя к длине дуги как параметру, получим более простое выражение для z:
(11)
В [2] приводится теорема:
Пусть
и
- два обобщённых
решения уравнения
,
совпадающих на границе
области . Пусть
,
а F для любых
и для любых конечных z, z1
и z2 такова, что
Она непрерывна и неотрицательна.
Как функция z при фиксированных значениях остальных аргументов она абсолютно непрерывна и
,
тогда
и
совпадают
в
тождественно.
Где
- класс функций, выпуклых на W
и C1(W )-
класс класс функций, непрерывных на W
вместе с частными производными первого порядка.
В [5] указано, что эта теорема
остаётся справедливой, если условие
заменить условиями:
и F удовлетворяет условию Липшица по z1
и z2.
При выборе
все эти условия выполняются и функция (10) является единственным решением
уравнения (8) в классе функций
,
где
.
Условие F>0 эквивалентно
при условию
, что является
необходимым условием того, что z - решение уравнения Дарбу (7). Замечая,
что F непрерывна по z1 и
z2, можем утверждать, что
в достаточно малой окрестности точки (0,0) функция (10)является единственным
решением уравнения (7) в классе функций
.
Воспользуемся тем фактом, что в рассматриваемой окрестности, по определению римановых нормальных координат, любая точка может быть соединена с началом координат при помощи геодезической единственным образом. Попытаемся найти реализацию данной метрики в виде поверхности вращения, полученной вращением некоторой кривой вокруг нормали к поверхности, построенной в начале координат. В данном случае этой единственной геодезической будет меридиан, проходящий через данную точку. Кривую зададим параметрически, отнесенной к каноническому параметру:
Здесь функция z(S) взята из (11), а x(S) можно найти из условия
,
Окончательно, параметрическое задание данной кривой примет вид:
(12)
Литература:
1.Бакельман И.Я и др. Введение в дифференциальную геометрию “в целом”. М,1967.
2.Бакельман И.Я. Геометрические методы решения эллиптических уравнений. М,1969.
3.Бакельман И.Я. Высшая геометрия. М., “Просвещение”, 1967.
4. Погорелов А.В. Об уравнениях Монжа-Ампера эллиптического типа. ХГУ,1960.
5. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. М,Инлит.,1948.